第十六章（2/2）

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则直线l的方程为y=±

39957（x+3）．）

此题考查了圆的标准方程，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及直线的点斜式方程，熟练掌握定理及公式是解本题的关键。

周彬道：嗯，我知道了，你再看看这道题。（在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为

{

x

=

t

y

=

2

+

t

{x=ty=2+t（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=2．

（1）求直线l与圆C的公共点的个数；

（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换

{

x

'

=

x

y

'

=

1

2

y

{x′=xy′=12y得到线段C′，设G（x，y）为曲线C′上一点，求x2+xy+4y2的最大值，并求相应点G的坐标。）

李青龙道：这道题应该这么解。（ （1）直接消去参数t得直线l的普通方程，根据ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程，从而可判断直线l与圆C的公共点的个数；

（2）先根据伸缩变换得到曲线C′的方程，然后设M（2cosθ，sinθ），则x=2cosθ，y=sinθ代入x2+xy+4y2=1+sin2θ，根据三角函数的性质可求出所求．

解答 解：（1）直线l的参数方程为{x=ty=2+t{x=ty=2+t（t为参数），普通方程为y=2+x，即x-y+2=0．

圆C的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x2+y2=4，圆心为（0，0），半径为2，

圆心到直线的距离d=2√222=√22＜2，所以直线l与圆C的公共点的个数为2；

（2）∵曲线C：x2+y2=4经过伸缩变换{x'=xy'=12y{x′=xy′=12y得到曲线C'，

∴C′：x24+y2=1x24+y2=1，

设G（2cosθ，sinθ）则x=2cosθ，y=sinθ，

∴x2+xy+4y2=1+sin2θ，

∴x2+xy+4y2的最大值为2，点G的坐标（√22，√2222）。你懂了吗？

周彬道：懂了，懂了。

李青龙道：懂了就好。休息一下，等我妈做完饭吃完饭后。我们四个人商量一下，下午去那里玩好不好？

周彬道：好。

陈嘉欣道：好。

赵晓雅道：好。

“......”